Bienvenidos a año Internacional de la Ciencia y Tecnología C

J. Félix

Laboratorio Internacional de Partículas Elementales, Departamento de Física, División de Ciencias e Ingenierías, Campus León. Universidad de Guanajuato.

(https://laboratoriointernacionaldeparticulaselementales.net/)

felix@fisica.ugto.mx

1925. En México los mexicanos se afanaban en pacificar y reconfigurar al País, y olvidar las penurias de más de 15 años de batallas y más de un millón y medio de muertos. En Europa, también, porfiaban para dejar atrás las vivencias y desastres de la Primera Guerra Mundial.

En 2025 se completan 100 años de haberse publicado la primera versión de la Mecánica cuántica. Su padre, Niels Bohr, debería sentirse muy orgulloso, porque ya es trastatarabuelo de la simiente que dio origen a la mecánica cuántica; ya la quinta generación está en vibrante actividad académica. La mecánica cuántica ya es parte de la cultura universal, ha salido de los círculos académicos para llegar al gran público, como la pintura, el baile, la música, la literatura y otras formas de arte. En estos días se observa una gigantesca explosión de las aplicaciones en todos los ámbitos de la mecánica cuántica, en otras ciencias incluyendo la física, en las ingenierías, y las tecnologías. La más sonada es quizá la computación cuántica, que en nuestros días no se ha materializado completamente. 

Éste es un tributo-recordatorio de esta fecha que debe ser escrita con mayúsculas en la historia de las ideas de la humanidad. 100 años de la mecánica cuántica.Los primeros 100 años, y debe haber muchos siglos más para la mecánica cuántica, que eventualmente termine como un caso particular de una formulación mucho más general, una especie de supra mecánica cuántica. 

En orden de publicación, el despuntar, la primera versión fue la de Werner Heisenberg, le siguió la de Erwin Schrödinger, luego la de Paul Dirac, y al último la de Richard Feynman. Y el material no se ha terminado, quizá haya lugar para otras versiones.   

La Mecánica Cuántica matricial, de Heisenberg.

En 1925, Werner Heisenberg publica su formulación de la Mecánica Cuántica1-2; el artículo enviado por Max Born a publicar, por encargo del mismo Heisenberg, la revista lo recibe el 29 de Julio de ese año, y lo publica hasta Diciembre del mismo año; a la formulación también se me llama mecánica matricial, las razones saltan a la vista cuando las amplitudes de las transiciones entre estados cuánticos, de un sistema cuántico, se escriben en un arreglo matricial, como las matrices con las que está familiarizado todo estudiante de ingenierías, de física o de matemáticas. Las ecuaciones de movimiento -cambios de estados físicos de un sistema físico- se escriben en término de matrices, y resultan ser que la derivada con respecto al tiempo de la matriz de estado de posición (o matriz de estado de momento) es igual al conmutador de la matriz hamiltoniano con la matriz de estado de posición (o matriz de estado de momento), multiplicado por dos veces el número π y por el número i, la raíz cuadrada de (-1), dividido este producto por la constante de Planck; el conmutador se define como el producto de la multiplicación de la matriz hamiltoniano por la matriz de posición (momento) menos la multiplicación de la matriz posición (momento) por la matriz hamiltoniano; la clave de esta álgebra es la no conmutatividad de los elementos de este espacio en la operación multiplicación, es decir de las matrices bajo la operación multiplicación; este resultado es totalmente generalizable a la derivada de cualquier matriz, no sólo a la matriz de estado de posición o de momento; es la forma de cuantizar una variable cualquiera. Tomamos este resultado como un principio. 

De la forma anterior, en construcción, se asemeja a la formulación de la mecánica clásica, pero su significado y connotación son muy diferentes; en construcción, pero no en significado, la formulación anterior es análoga al segundo principio de la mecánica clásica o mecánica newtoniana. Se tiene un procedimiento general para resolver todo tipo de problema cuántico, es decir, una mecánica del quantum. 

Al aplicar este formulismo se resuelve todo tipo de problema cuántico, el requisito es conocer el hamiltoniano para el sistema físico tratado, que también es un requisito en mecánica newtoniana, en la llamada mecánica clásica, en la versión de Hamilton-Jacobi. 

Un primer ejemplo de sistema físico es la partícula libre, una partícula de masa fija y no sujeta a ninguna interacción; una partícula confinada en un espacio por un potencial infinito, pero libre al estar en el interior, otro; el oscilador armónico, otro; y el átomo de Hidrógeno o átomo tipo hidrogenoide, otro. Sólo los problemas más familiares, para empezar.

Los escépticos quedaron convencidos cuando se pudieron resolver esos sistemas físicos sencillos con el formulismo anterior de Heisenberg. Luego, la conclusión inmediata es que esta propuesta de mecánica cuántica es aplicable a todo sistema cuántico.  

Según versión del mismo W. Heisenberg, para crear su versión de la mecánica cuántica se basó en una propuesta epistemológica formulada por A. Einstein: todo concepto físico introducido en la propuesta de descripción de la naturaleza -llámesele teoría- debe tener su contra parte observacional y experimental. En el modelo de N. Bohr conceptos como órbita, período, radio, etc. no tienen contraparte observacional -no son medibles u observables-, luego no tienen cabida en la propuesta de Heisenberg. Pero líneas espectrales e intensidad de éstas sí son observables, luego forman parte de la propuesta.

Surgió de los trabajos de los científicos que resolvieron muchas de las dificultades que tiene el modelo atómico de N. Bohr, para ser extendido a átomos más pesados que el átomo de Hidrógeno, y la teoría de la radiación electromagnética. En ambas propuestas la tesis cuántica de Max Planck está incluida -originalmente propuesta para sistemas termodinámicos, el espectro de radiación del cuerpo negro-, y extendida a sistemas físicos como los ópticos -espectros atómicos-, los eléctricos -efecto foto eléctrico-, lo químicos -calores específicos-, y los atómicos -dinámica atómica-. Y los problemas tratados por Planck, que le llevaron a descubrir el quantum de acción, tienen como antecedentes los trabajos de Kirchhoff sobre el espectro de la radiación del cuerpo negro. 

La Mecánica Cuántica ondulatoria, de Schrödinger.

En 1926, Erwin Schrödinger publica su formulación de la mecánica cuántica3-4. Le tituló la cuantización como un problema de autovalores, en traducción al español del original en alemán. Es considerado uno de los pilares fundamentales de la formulación de la mecánica cuántica y uno de los más influyentes en la física. Generó varios cambios fundamentales en la física y en la ciencia en general. 

Se resume en una ecuación, conocida en el mundo científico como ecuación de Schrödinger. Es una ecuación de onda, por lo que también a esta versión de la mecánica cuántica se le llama mecánica ondulatoria; pero no es exactamente igual a una ecuación de onda, como en mecánica clásica, con la que describimos la propagación de una perturbación mecánica en un medio elástico, por ejemplo, una onda sonora. 

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial de segundo orden en el espacio y de primer orden en el tiempo. Involucra la constante de Planck y el número i, raíz cuadrada de menos uno. Es una expresión no relativista -el tiempo y el espacio no son tratados simétricamente-; es compleja, válida para sistemas físicos a bajas velocidades comparadas con la velocidad de la luz, y para partículas sin espín. 

Schrödinger no deduce la ecuación, simplemente la plantea. Como no se deducen los principios en física, simplemente se plantean. Sustituye, en paralelismo burdo con la mecánica clásica, el segundo principio de Newton de la mecánica clásica. El problema de describir un sistema cuántico se reduce, entonces, a resolver la ecuación diferencial conociendo el potencial al que está sometido el sistema físico; procedimentalmente también se asemeja a la mecánica de Newton. La solución es una función de onda, generalmente compleja. La solución general es directamente separable en las coordenadas espaciales y la coordenada tiempo. 

En base a esta ecuación, Schrödinger mismo, resuelve el problema para el espectro de energías del átomo tipo Hidrogenoide independiente del tiempo; su solución coincide muy bien con los datos experimentales. 

El mismo Schrödinger publica posteriormente aplicaciones y usos de la ecuación. Por ejemplo, el oscilador armónico cuántico, la molécula diatómica, el efecto Stark, cómo tratar sistemas cuánticos dependientes del tiempo -como el problema de la dispersión de partículas por átomos, y otros-. También publica su deducción de la equivalencia entre la versión ondulatoria de Schrödinger de la mecánica cuántica y la versión matricial de Heisenberg de la mecánica cuántica. 

La interpretación de la función de onda, solución de la ecuación de onda de Schrödinger, que en términos generales es una función compleja, se debió a Max Born, el mismo que envió a publicar el trabajo de Heisenberg. M. Born la interpreta como una amplitud de probabilidad, con una fase indeterminada, de tal forma que el módulo al cuadrado de esta función de onda es la densidad de probabilidad de encontrar al sistema en un determinado estado físico cuántico a un tiempo determinado. E. Schrödinger nunca estuvo de acuerdo con esta interpretación, con la interpretación probabilística de la mecánica cuántica, aunque admitió que la formulación de la mecánica cuántica es completamente diferente de la formulación de la mecánica clásica. Lo que acontece en los ejes, volantes, ruedas, palancas, de una carreta es muy diferente a lo que acontece en el interior de un núcleo atómico.  

Esta disputa continua hasta nuestros días. 

Se menciona, asiduamente en la literatura, que Schrödinger se basó en la tesis de D´Broglie para formular su versión de la mecánica cuántica. En su disertación Nobel, Schrödinger no menciona la hipótesis de D´Broglie de las ondas materiales, mucho menos los resultados experimentales de Davisson y Germer y de G. P. Thomson de la difracción de electrones; pero, sí menciona el principio de Fermat, para ondas luminosas, y el principio de Hamilton para sistemas mecánicos y asienta la analogía correspondiente. De esta forma, llega a establecer que la nueva mecánica ondulatoria se corresponde con la teoría de onda de la luz. Concluye que el concepto de partícula y el concepto de onda están bien establecidos en mecánica cuántica, pero que son irreconciliables experimentalmente, pero complementarios, y nunca se observan las dos propiedades en un mismo sistema experimental y simultáneamente. Éste es el principio de complementariedad de N. Bohr. Schrödinger construyó la nueva mecánica -la mecánica ondulatoria- en analogía con la vieja mecánica -la mecánica de Newton en la versión de Hamilton-Jacobi-. 

La Mecánica Cuántica de vectores de estado, de Dirac.

La versión más abstracta y general de la mecánica cuántica se debe a P. Dirac5-6. Se basó en los trabajos de Heisenberg y de Schrödinger para crear su formulación. Usó el álgebra de Poisson -paréntesis de Poisson, que aparecen en mecánica clásica- para hacer la formulación, porque el álgebra matricial usada por Heisenberg tiene una estructura algebraica similar. De ahí, formuló una mecánica cuántica, completamente general, profunda, basada en la no conmutatividad de variables dinámicas. Con el álgebra de paréntesis que él creó, los paréntesis de Dirac, pudo obtener las reglas de cuantización de una manera más general y sugestiva. Fue su tesis doctoral. Es la base para la estadística cuántica de Fermi-Dirac, válida para partículas de espín ½, donde se cumple el principio de exclusión de Pauli, sistema de electrones en sólidos, en líquidos, y en semiconductores. Un sistema cuántico de dos estados puede tratarse muy bien, y de forma directa y sencilla, con la formulación de Dirac. Es el caso más sencillo y muy importante. La polarización de un sistema cuántico compuesto de un tipo de partícula con dos estados posibles -fotón, λ0, molécula de amoníaco, mesón K0, el electrón-, es un ejemplo; la oscilación de los neutrinos, otro ejemplo. 

También, Dirac desarrolló la mecánica cuántica relativista, una formulación de la mecánica cuántica compatible con los principios de la teoría especial de la relatividad, al menos para el describir la dinámica del electrón, pero no válida para describir la dinámica del protón, por ejemplo. Dentro de este formulismo, predijo la existencia del antielectrón, el positrón.

La versión de Dirac, aunque simple en sus ideas más fundamentales, está elaborada de manera muy abstracta. Enuncia algunos postulados y encuentra que mucho del formalismo de la mecánica cuántica llega a ser independiente de cualquier representación, tal como el espacio físico tridimensional, y el espín, que no tiene analogía clásica, puede ser introducido sin ningún esfuerzo, esto es, se obtiene de manera deductiva en la propuesta. 

En la versión de Dirac de la mecánica cuántica, en vez de trabajar con funciones de onda en el espacio físico tridimensional, u operadores integrales o diferenciales, se usan cantidades que recuerdan a los espacios vectoriales euclidianos, descritos por el álgebra lineal en n dimensiones.

En la versión de Dirac de la mecánica cuántica, un estado físico es descrito por un vector de estado, o ket (                     ). Este vector pertenece al espacio vectorial complejo ket. Dirac postula que    contiene toda la información del sistema físico que representa; en otras palabras, contiene todas las respuestas a todas las preguntas que se pueden hacer experimentalmente al sistema; o es recipiente de los resultados de todos los experimentos que se pueden hacer sobre el sistema físico que representa. También, de forma equivalente,    es una forma abreviada de representar todos los números cuánticos que caracterizan el sistema físico.

Los vectores de estado son aditivos, conmutan con escalares, son asociativos, distributivos, etc. Un vector de estado y el producto de ese estado por un escalar distinto de cero representan el mismo estado físico. Si el escalar es cero, el resultado es el ket nulo.

En la versión de Dirac, un observable es una cantidad física que puede ser determinada experimentalmente. Ejemplos: la cantidad de movimiento lineal, la carga eléctrica, la masa, etc., de una partícula. Y se representan como operadores. La medición física se representa como la acción del operador sobre el estado ket; y el resultado, por otro ket, múltiplo del primero. Esta multiplicidad representa el resultado de la medición; se le llama autovalor; al vector de estado correspondiente, autovector, ambos del operador respectivo. A esos ketes también se les llama autoestados, y corresponden a los autoketes.

En la versión de Dirac, se postula que los autoketes de un observable cubren completamente el espacio vectorial. Esto es, cualquier ket arbitrario puede ser escrito como una combinación lineal de todos los autoketes, con los coeficientes numéricos de la combinación, en general, números complejos.

Como los autoketes forman una base completa y ortogonal, la expansión es única. Todo lo anterior recuerda al algebra lineal multidimensional euclidiana. Sin embargo, el espacio vectorial de Dirac es un espacio complejo, de dimensión infinita, en principio numerable.

La Mecánica Cuántica de integrales de camino, de Feynman. 

Lagrange-en Francia, siglo XVIII- y Hamilton-en Inglaterra, siglo XIX- aplicaron este principio a la mecánica de Newton, el principio de mínima acción. En este caso es la acción del sistema físico la que es un máximo o un mínimo cuando el sistema físico evoluciona en el tiempo, cuando transita de un estado inicial a un estado final. La lagrangiana asociado a un sistema físico es la energía cinética del sistema menos la energía potencial; para cualquier posible estado del sistema, la acción es definida como la integral de la lagrangiana en el tiempo -desde el tiempo inicial, cuando el sistema inicia sus cambios de estado, hasta el tiempo final, cuando el sistema finaliza sus cambios de estado-.

El curso que siguen los cambios de estado del sistema físico es tal que la acción del sistema siempre es un máximo o un mínimo. La mecánica de Lagrange y la de Hamilton son equivalentes, en los resultados, a la mecánica de Newton, pero no en la visión y la estructura supuesta del mundo externo. De todas las posibles trayectorias que podría seguir un sistema físico para evolucionar, o cambiar su estado físico, la que se observa en la naturaleza es tal que la acción del sistema es un mínimo. La importancia de esta formulación es ventajosa en mecánica cuántica. Richard Feynman explotó este hecho, pero desde el punto de vista cuántico, para crear su versión de la mecánica cuántica.

La versión de Feynman de la mecánica cuántica se conoce como mecánica de amplitudes, o la técnica de sumar sobre posibles historias o recorridos del sistema físico, o aproximación de muchas trayectorias, o la formulación de integrales de línea, o la aproximación lagrangiana, o el método de mínima acción. Feynman la desarrolló en 19417. También fue su tesis doctoral. 

En su discurso Nobel, Feynman relata cómo llego a su formulación de la mecánica cuántica con estas palabras8:

Fui a la taberna Nassau en Princeton a tomar unas cervezas. Estaba ahí un caballero, recién llegado de Europa (Herbert Jehle), quien se acercó y se sentó junto a mí. Los europeos son mucho más serios que nosotros los americanos porque piensan que un buen lugar para discutir temas intelectuales es una reunión para tomar cervezas. Así que se sentó junto a mí y me preguntó:

¿Qué estás haciendo?, o algo por el estilo, y yo dije estoy bebiendo cerveza. Entonces me di cuenta que quería saber qué trabajo estaba haciendo y le conté que estaba esforzándome con este problema, y simplemente volteé hacia él y dije mira, ¿conoces alguna forma de hacer mecánica cuántica comenzando con la acción donde la integral de acción entrara en mecánica cuántica? 

No, replicó, pero Dirac tiene un artículo en el cual la lagrangiana, al menos, entra en mecánica cuántica. Te lo mostraré mañana.

Al día siguiente fuimos a la biblioteca de Princeton (ésta tiene cubículos laterales para armar discusiones) y él me mostró este artículo. El artículo corto de Dirac en el Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion decía que una herramienta matemática que gobierna el desarrollo en el tiempo de un sistema cuántico es análoga a la lagrangiana clásica.

El profesor Jehle me lo mostró; lo leí; me lo explicó, y dije: 

¿Qué significa que sean análogos; qué significa análogos?, 

¿Cuál es el uso de eso?

Él dijo: 

¡Ustedes, los americanos!, 

¡Siempre quieren encontrar uso para todo! 

Dije que pensaba que Dirac quería decir que eran iguales. No, él explicó: él quería decir que son análogos. Bueno, argüí, veamos qué pasa si los hacemos iguales.

De esta forma, simplemente los igualé, tomando el ejemplo más simple... pero pronto encontré que tenía que poner una constante de proporcionalidad A, convenientemente ajustada. Cuando sustituí...y calculé casos en una expansión en series de Taylor, salió la ecuación de Schrödinger. Y volví al profesor Jehle, sin realmente entender, y dije: bueno, ya ve que el Profesor Dirac quiso decir que son proporcionales. Los ojos del profesor Jehle desorbitaron, él había sacado una pequeña libreta y estaba copiando rápidamente del pizarrón comentando: no, no, éste es un descubrimiento importante.

Conclusiones

Tenemos 4 versiones de la mecánica cuántica, no es de extrañar, tenemos tres versiones de la mecánica clásica. Toda ellas tuvieron su origen en la mecánica clásica, en la propuesta clásica del devenir del mundo externo. Quizá haya otras formas de formular la mecánica clásica, y por supuesto la mecánica cuántica. Versiones con las que podamos calar más hondo el entendimiento del devenir del mundo externo.

El nombre de Mecánica Cuántica para referirse a este sistema de explicación y descripción del devenir del mundo externo es desafortunado. Si bien el principio de correspondencia de N. Bohr sirvió como pértiga para establecer una analogía entre las imágenes directas, que se pueden construir en física clásica, y las imágenes indirectas, que se pueden construir del mundo submicroscópico, y fue guía para establecer y fincar resultados cuánticos, en la Mecánica Cuántica se ha renunciado a representar en imágenes mentales lo que ocurre a escala cuántica y sub cuántica. En base a este principio, la mecánica cuántica se establece por analogía con la mecánica clásica, que queda como un caso límite de la primera. Con la Mecánica Cuántica no se describen objetos físicos, ni procesos físicos, como los que se describen en Mecánica Clásica. Luego técnicamente no es una mecánica. A cien años de su creación, tenemos que buscarle un mejor nombre a la Mecánica Cuántica, o esperar a que se construya lentamente una nueva acepción para la palabra mecánica. 

En este año, 2025, se cumplen 100 años de haber sido creada la mecánica cuántica. El atractivo por esta descripción e interpretación del mundo externo no ha menguado; ha ido creciendo en interés, popularidad e importancia. La UNESCO ha declarado el año 2025 como el año internacional de la ciencia y la tecnología cuánticas9. Habla de ciencia y tecnología cuánticas, como si intentara suprimir la palabra mecánica, porque no es una mecánica -al menos no como en mecánica clásica-, pero no ofrece un nuevo vocablo, simplemente da el término ciencia y tecnología, ya conocidos, y añade el apellido cuánticas para distinguirlas de otras ciencias y tecnologías que no son cuánticas.  

La mecánica cuántica debe ser la base para educar a las nuevas generaciones en física e ingeniería, en sustitución de la mecánica clásica como base, y junto con la teoría electromagnética clásica formar los cimientos para la educación científica y técnica de las nuevas generaciones de ingenieros y científicos que el país necesita. 

1. W. Heisenberg (1925). Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Z. Physik 33, 879–893. https://doi.org/10.1007/BF01328377.

2. W. Heisenberg (1925). Nobel Lecture. https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/heisenberg-lecture.pdf 

3. E. Schrödinger (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem". Annalen derPhysik. 384 (4): 273376. doi:10.1002/andp.19263840404.

4. https://www.nobelprize.org/uploads/2017/07/schrodinger-lecture.pdf

5. P. Dirac (1926). Quantum mechanics. https://repository.lib.fsu.edu/islandora/object/fsu:641. 

6. P. Dirac (1933). Nobel lecture. https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/dirac-lecture.pdf 

7. https://faculty.washington.edu/seattle/physics541/2012-path-integrals/feynman-thesis.pdf 

8. R. Feynman. Nobel Lecture. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1965/feynman/lecture/

https://quantum2025.org/iyq-event/iyq-2025-opening-ceremony/#